Crónica Nº7 de 2012

Crónica JLHS Nº 7 de 2012 Kronyka 2012.11.10 1. Simulaciones Hoffman 2004 para control de huracanes con Teoría del Caos 2. Cinco famosos pianistas de jazz de Pittsburgh, Pennsylvania, USA 3. Fuegos Artificiales y Curvas Matemáticas Rellenadoras de Espacio 1. Simulaciones Hoffman 2004 para control de huracanes con Teoría del Caos Leves cambios pueden influir fuertemente en lass rutas e intensidades de un huracán. R. N. Hoffman, Controlling Hurricanes, SciAm, October 2004, 38-45 Los aficionados a la Automática y Control Automático tendemos a pensar que todo lo que existe, o existirá, puede ser controlado, y automáticamente además. También se aduce que mucho de lo que ya existió podría haber sido controlado. Obviamente, esas presunciones se refieren a la Tierra y a ciertas operaciones en la Luna y los planetas cercanos, por ahora. Pero no se vislumbra, creo, cómo controlar los fenómenos del Sol y sus efectos diversos, como los climáticos. Aquí me limito a control de aminoración y desviación de huracanes, tifones y ciclones. En 2004 leí el artículo del especialista estadounidense R.N. Hoffman, citado más arriba, y quedé con una visión optimista sobre las posibilidades de control de tales tormentas por entes o países que dispongan de medios y recursos. Pero volví a un pesimismo luego de los huracanes Katrina (2005), Irene (2011) y Sandy (2012), y otros. En SciAm y diversos sitios en Internet, se han presentado comparaciones entre esas y otras grandes tormentas. Por ejemplo, con K = Katrina y S = Sandy: Velocidad máxima del viento, km/h: K = 200, S = 150. Diámetro, km: K = 650, S = 1500. Lluvia máxima, centímetros: K = 40, S = 35 Personas muertas: K = 1833; S = 124 (69 en el Caribe y 55 en EE.UU.). Daños, miles de millones de dólares: K = 80, S = 20. R. N. Hoffman describe sus investigaciones, y de sus colaboradores, en una empresa, AER, de USA. El enfoque considera los huracanes como sistemas caóticos, susceptibles de análisis y control con métodos de la Teoría del Caos. Emplean modelos de pronóstico del tiempo atmosférico que reproducen los procesos internos cruciales en desarrollo y evolución de tormentas tropicales. Sus resultados confirman que dichos masivos sistemas caóticos son susceptibles a pequeños cambios en sus condiciones iniciales, como temperatura y humedad cerca del centro de la tormenta y en regiones circundantes. Con técnicas de optimización avanzadas investigan qué modificaciones de un huracán podrían desviarlo y debilitar sus vientos. Presentaron, en 2004, resultados de control simulado de dos huracanes de 1992: Iniki, en Hawaii; y Andrew, en Florida y Bahamas. En el caso de Iniki, la simulación indica que se podría haber desviado la ruta del huracán. En el caso de Andrew, el control simulado indica que se podría haber reducido el huracán de Categoría 3 a Categoría 1, mucho más suave, e inocuo, o menos de 90 km/h. En el artículo se indican métodos prácticos que están, o estaban, siendo investigados en esa empresa. Agrego, incidentalmente, que Chaos Theory, o Teoría del Caos, es una disciplina matemática que tiene muchas aplicaciones, en diversos campos o actividades humanas, y fenómenos naturales y artificiales. Se estima que fue iniciada por H. Poincaré en 1880 y muchos grandes matemáticos, y otros especialistas, la han desarrollado desde entonces. Mi interés en ella ha sido en Automática, Electrónica y Control Automático. Mi interés de aficionado de escritorio en materias de control climático, en general, no en tormentas, empezó en 1950, mientras era alumno de la UTFSM, Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso, Chile. El Dr. Herbert Appel, Profesor de Química, y Premio Nacional de Ciencias, se preocupó, fuera de sus investigaciones habituales, de la siembra de nubes usando yoduro de plata para combatir la sequía en Chile. Su alumno, D. Marino Penna, compañero químico de nuestro curso, me explicó el procedimiento, que él quería aplicar en su ciudad natal, Ovalle, de la que llegó a ser alcalde. Después que egresé de la UTFSM, 1951, no supe más de esos resultados. Ese procedimiento era habitual en EE.UU. y otros países, para dicho propósito, y aún es usado, como, por ejemplo, en China. Por otra parte, algo leí sobre las investigaciones de John von Neumann, el genio polímata húngaro-estadounidense, referentes a control del clima. Von Neumann contribuyó en muchas áreas y es más conocido por el método para la primera bomba nuclear y por el principio de von Neumann en computadores. La idea de von Neumann en climatología, en 1955, era, básicamente, esparcir microscópicas capas de materia coloreada sobre el hielo o atmósfera para inhibir el proceso de reflexión-radiación, fundir el hielo y cambiar el clima local. Por ejemplo, algunos han propuesto o usado hollín. Parece que no se sabe mucho de las investigaciones de EE.UU., Rusia y China sobre estas materias, ya que sirven o servirían en guerras, como es obvio. La ONU veda esos usos. China tiene una Oficina Climatológica para control de lluvias, sequías y tormentas de arena, y aviones, cañones y misiles listos para ello, como en los Juegos Olímpicos de Beijing 2008. Esos procesos de inhibición de efectos de radiación solar pueden servir para controlar condiciones iniciales de los sistemas caóticos de huracanes, y otros fenómenos. Al revés, dado el actual proceso mundial de deshielos árticos, antárticos y de glaciares, habría que aplicar la receta de von Neumann al revés, para contrarrestar dicho derretimiento. Pero, parece, no se está haciendo algo al respecto. Menos aún, por lo que se sabe, hay dedicación a usar la energía de los huracanes con fines útiles. En todo caso, no es energía permanente. 2. Cinco famosos pianistas de jazz de Pittsburgh, Pennsylvania, USA Reconozco de antemano que en esta Sección de Crónica no puedo ni siquiera empezar a tratar someramente alguno de sus ingredientes -- jazz, Pittsburgh y pianistas de jazz. Cada uno de esos temas ha sido tratado vasta y profundamente en enciclopedias, libros, películas cinematograficas, artículos internéticos y, por supuesto, álbumes musicales. Gracias, por ejemplo, a You Tube se puede escuchar famosas piezas de jazz, o de otras variedades de música, desde algunas que uno podría pensar ya perdidas, por lo antiguas, y, por supuesto, hasta otras muy recientes, o de intérpretes casi desconocidos. Pero concentrándome en cinco pianistas de jazz de la ciudad de Pittsburgh abrevio mucho esta Sección. La Real Academia Española define Jazz como un género de música derivado de ritmos y melodías afronorteamericanos, y me conformo con eso. El jazz nació a fines del siglo 19 y se ha extendido mundialmente y desde orígenes populares hasta aires en música clásica, selecta o culta. Sus variedades son muchas, así como la cantidad de sus orquestas, músicos e intérpretes, de distintas razas, no solo de origen negro. A veces se habla o escribe del jazz de diversas ciudades, como New Orleans, presuntamente su origen, New York, Chicago, u otras. Mientras viví en 1953 en Philadelphia, Pennsylvania, y caminaba algunos domingos hasta el centro histórico, a través de barrios negros, escuchaba música de jazz que emanaba de casas. Pero cuando viví en Pittsburgh, Pennsylvania, 1960-1962, para mis estudios de doctorado, no tuve tiempo para saber si había un jazz con sonido de esa ciudad. Mi esposa escuchaba la famosa Orquesta Sinfónica de Pittsburgh y yo imaginaba, en broma, si quizás algún pianista clásico podría tocar algo de jazz. Lo consideraba imposible, dado que los pianistas clásicos interpretan las obras musicales con apego estricto y, en cambio, una de las características del jazz es la improvisación que introducen los intérpretes. Pero hay pianistas clásicos que interpretaron, o interpretan, jazz. Recuerdo cinco famosos pianistas de jazz de Pittsburgh: Mary Lou Williams [1910-1981], pianista, compositora y arreglista; William Thomas (Billy) Strayhorn [1915-1967], pianista, compositor y arreglista; Erroll Garner [1921-1977], pianista y compositor; Michael (Dodo) Marmarosa [1925-2002], niño prodigio, también pianista clásico; Ahmad Jamal (Frederick R. Jones) [1930 - ], actual pianista y compositor. Los tres últimos nacieron en Pittsburgh. Algunas de sus interpretaciones se pueden ver o escuchar en You Tube. Cuando recuerdo Pittsburgh, la Universidad de Pittsburgh, los museos, los ríos, los puentes y los parques, pongo y escucho, a veces, CDs de esos eximios pianistas, o de la Pittsburgh Symphony Orchestra, para contrapesar algo los tipos de música de esa gran ciudad. 3. Fuegos Artificiales y Curvas Matemáticas Rellenadoras de Espacio Los fuegos artificiales de Año Nuevo, y otros eventos pirotécnicos, en el mundo, y en particular los de Valparaíso, Chile, son muy admirados y elogiados, aunque también criticados. Gentes se concentran desde temprano en lugares donde puedan presenciarlos o arriendan departamentos para verlos con más comodidad. Sin ánimo de crítica, nunca se ha sabido de alguien que por ver esos fuegos haya mejorado como persona, o en cualidades humanas, en el nuevo año. Y salen molestos de las aglomeraciones y problemas de tránsito que, por supuesto, le achacan a los demás, y no a ellos mismos. Las curvas que describen esos cohetes, o lo que sean, parecen llenar el espacio tridimensional – lo que es una errónea ilusión óptica, y peor aún, mental - y me recuerdan mis viejos estudios sobre topología matemática, desde los años 1960, y textos que había olvidado. Las curvas matemáticas solían ser conceptos muy fáciles de entender, y lo son aún en la PSU u otras Pruebas de Admisión, o en cursos básicos en liceos y universidades mundiales La definición usual o tradicional de curva continua es la del matemático francés C. Jordan [1838-1922]: Si f es un mapa continuo del intervalo cerrado unitario I = [0 ; 1] al plano euclídeo R2, entonces el subconjunto f(I) es llamado una curva continua. Un ejemplo muy simple, para ilustración, sería la función f(t) = t , donde t es el tiempo, 0 ≤ t ≤ 1, y f(t) la curva, una recta continua de 45º en el plano euclidiano R2, (x,y), desde el punto (0 ; 0) al punto (1 ; 1). Cada instante t se mapea [chilenismo aceptado por la RAE, Academia Española] en un (único) punto f(t) en la recta. Habría que recordar la definición matemática de continuidad, lo que no hago aquí. Pero, desde quizás 1914, ese idílico concepto de curva continua se ha complicado mucho y rige el famoso Teorema de Hahn-Mazurkiewicz: Un espacio topológico X es una curva continua si y solo si X es un espacio Hausdorff compacto, segundo-contable, conectado y localmente conectado. Obviamente, hay que estudiar bastante, o algo, de Topología Algebraica para comprender ese teorema y sus alternativas y variantes. H. Hahn, austríaco, [1879-1934], y S. Mazurkiewicz, polaco, [1888-1945], escribieron independientemente sobre estos temas, en 1914 y 1920, respectivamente. ¿Cómo es que una simple curva continua se ha complicado, matemáticamente? Primero hay que distinguir, como lo he indicado en varias Crónicas de 2011 y 2012, entre puntos físicos y puntos matemáticos. Por ejemplo, ficticiamente, sea algún alambre finísimo de 1 metro de largo y cuyas moléculas longitudinales sean los puntos físicos. Son finitos en número y calculables. Si dividimos el alambre en dos partes, cada una de ellas tendrá la mitad de dichas moléculas o puntos físicos. Sin embargo, desde la introducción de los números infinitos, o transfinitos, por G. Cantor, [1845-1918], todo cambió, con la noción de puntos matemáticos. Así, en el ejemplo del alambre, tanto éste como cualquiera de sus mitades tienen la misma cantidad, infinita e incontable, de puntos matemáticos, designada como c, Aleph 1, o N1. Esta es la cardinalidad de los números reales. Todas las rectas, o curvas, tienen dicha cardinalidad. Así basta considerar un intervalo I = [ 0 ; 1] en vez de cualquier longitud, aun la de (- ∞ ; + ∞ ), o recta, o curva, conexa, de largo infinito. Esto fue como un golpe a la matemática tradicional. El segundo golpe fue la demostración de que cualquier cuadrado plano tiene el mismo N1 de puntos matemáticos que uno de sus lados, o bien, que I = [0 ; 1]. Eso es extensible a rectángulos, rombos, círculos, cubos esferas, y otros, n-dimensionales, con n ≥ 2. Por ejemplo, el Universo, el Sol, la Tierra, la distancia Sol-AlfaCentauro, o Santiago-Nueva York, el triángulo chileno Arica-Isla de Pascua-Polo Sur, y así otros casos, todos tienen el mismo número, infinito incontable, N1, de puntos matemáticos. El tercer golpe fue de Giuseppe Peano, [1858-1932], quien introdujo, en 1890, el concepto de curvas continuas llamadas rellenadoras de espacio. Demostró que hay una curva que recubre el plano R2 y que recorre continuamente – sin levantar el lápiz, por decirlo así- todos los infinitos puntos matemáticos de dicho plano. Según lo indicado en el párrafo precedente, basta considerarla como un mapa del intervalo I = [0 ; 1] al cuadrado I x I = [0; 1] x [0;1], donde x denota producto cartesiano, o cuadrado unitario en este caso. El mapa debe ser onto o sobreyectivo, para incluir en su recorrido todos los puntos del cuadrado, infinitos incontables, N1, en número. El mapa es de tipo fractal y fue seguido por otros mapas, desde 1891, de diversos matemáticos. Este descubrimiento de G. Peano cambió el concepto tradicional quie se tenía de curva continua. Siguiendo esas líneas de pensamiento matemático se llegó al Teorema de Hahn-Mazurkiewicz, entre otros. Así, una curva continua es un ente matemático complicado. Lo que observamos, como el vuelo de un ave o las evoluciones de un volantín, son curvas continuas en un espacio 3D pero son muy simples. Los fuegos pirotécnicos distan infinitamente de ser curvas continuas rellenadoras de espacio.

Crónica Nº6 de 2012

Crónica JLHS Nº 6 de 2012 Kronyka 2012.10.30 1. Analogía de J. Mauldin, de octubre 2012, entre crisis económicas y black holes 2. Bandurrias, ibis chilensis, volaron con su cantos aflautados sobre el Lago Llanquihue 3. Algunas otras curiosidades de los números transfinitos de G. Cantor 1. Analogía de J. Mauldin, de octubre 2012, entre crisis económicas y black holes Recibo diariamente The Daily Reckoning, de USA, lo que agradezco mucho, y trato de examinar los artículos, con lectura rápida, en 5 minutos, anotando los que trataré de leer más adelante, lo que rara vez puedo hacer. Pero leí, ahora, varias veces, el artículo The Economic Singularity, escrito en dos partes, desde el 22 de octubre reciente, por John Mauldin, destacado experto financiero estadounidense. En general, los expertos financieros se dedican a recomendar inversiones que ayuden a sus clientes exclusivos o pudientes a invertir mejor sus capitales, en particular para defenderse en épocas de crisis económicas. Pero también a veces escriben algo general para el vulgo, o lectores comunes, como yo. Mi interés es más bien econométrico, aplicación de modelos y métodos de la Automática y el Control Automático en economía. Las grandes Sociedades de Ingeniería, como IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) e IFAC (International Federation of Automatic Control), y otras, tienen Comités y publicaciones sobre dichas materias. Maulin parte recordando, para lectores generales, que una singularidad matemática es un punto en el que una ecuación no tiene solución y que un black hole, físico o cosmológico, es una singularidad en el tejido espaciotemporal, un punto en el que las ecuaciones estándares de la física dejan, repentinamente, de tener solución. El black hole, blackhole, o agujero negro, tiene una gravedad tal que atrae todo lo que se encuentre, o llegue a estar, dentro de su horizonte de eventos, y nada puede escapar de dicha singularidad. El horizonte de eventos de un black hole es la frontera. Dentro de ese horizonte no hay posibilidad de retorno. Fuera de él es posible el escape, o posibilidad de no ser absorbido, y aun se podría usar, presuntamente, el impulso gravitacional para alejarse del black hole. Maulin menciona que se piensa que el centro de nuestra galaxia, Vía Láctea, es un blackhole con masa equivalente a 4,3 millones de soles, como nuestro Sol. Mauldin piensa que “se puede asumir un superficial paralelismo entre un black hole y la presente situación económica global, mundial. Opina que una burbuja económica cualquiera, especialmente una burbuja de deuda, puede ser considerada, pensada, como un black hole incipiente. Cuando la burbuja colapsa hacia adentro crea su propio black hole, dentro de cuyo horizonte de eventos fallan todos los modelos económicos tradicionales. Cualquiera teoría económica que no trate de trascender el horizonte de eventos asociado con una deuda excesiva será incapaz de ofrecer una solución viable a una crisis económica. Peor aún, es posible que cualquiera solución propuesta haga más severa la crisis.” Dicho autor recuerda después los tres tipos de deuda enunciados por H. Minsky: de cobertura; especulativa; y piramidal (fraudulenta Ponzi). Menciona también las teorías de Minsky sobre estabilidad e inestabilidad de mercados de capitales o financieros, y otras consideraciones, que no comento. Menciona, al pasar, el ejemplo actual de Europa, el venidero de Japón y la que EE.UU. puede evitar, con concertada acción, al comienzo de 2013. Una recesión ciclo de negocios puede responder a políticas monetarias y fiscales siempre que no se haya llegado al horizonte de eventos. Dice que hay dos fuerzas contradictorias batallando en un black hole de deuda: expansión de deuda y colapso del crecimiento. Aclara luego esos asertos, lo que no incluyo. En la Parte II de su artículo, Mauldin menciona, al pasar, los orígenes y fechas de los blackholes de países como Rusia (en 1998), Suecia y Canadá (ambos en los años 1990) y los actuales de Grecia, Japón, Argentina y España, con, a veces, mención de los porcentajes del GDP (Producto Doméstico Bruto) a los cuales ocurrió el horizonte de eventos, o momento del Bang, o pérdida de confianza en el mercado de bonos respectivo. Y serán seguidos por otros países, dice Mauldin. Menciona al pasar a Francia e Italia, pero no comenta sobre ellas.. Reconozco que me preocupó mucho un aserto de Mauldin. Dice que el problema de España se originó por una burbuja épica en la industria de la construcción de viviendas, que ocupaba el 17% de la fuerza laboral. Cuando colapsó dicha burbuja el desempleo subió hasta el 25% general actual. Por lo que leo en la prensa chilena, en Chile se está formando –creo- una burbuja en ese mismo sector. Por otra parte, me preocupó lo que dice Mauldin de los efectos de blackholes de países vecinos o asociados. Por ejemplo, anota que Finlandia es parte de la Eurozona y que se verá afectada por los blackholes de otros países de ésta. También cita que China ha visto bajar en un 12% sus exportaciones a Europa. Afortunadamente, en Chile se dice que nuestro país no se verá afectado. Mauldin menciona también que. para tratar de escapar de su blackhole de deudas, Japón empezaría a imprimir dinero, imagino que sin respaldo. Otras fuentes, de EE.UU., han empezado a procuparse de un posible bust, o contracción. en China, ojalá no un black hole. Afortunadamente, Mauldin dice que EE.UU. puede mantenerse fuera de un blackhole, equilibrando su presupuesto dentro de 5 años, y sugiere cómo. 2. Bandurrias, ibis chilensis, volaron con su cantos aflautados sobre el Lago Llanquihue En diversas Crónicas he incluido subsecciones sobre aves y pájaros, principalmente de Chile, por varias razones. Una razón es, obviamente, la belleza de esas especies y sus aportes a los panoramas y paisajes, rurales o urbanos, y al medio ambiente. Otra razón es mi añoranza de las antiguas clases de Zoología y Botánica de los programas educacionales chilenos de hasta mediados del Siglo 20. También me motiva el saber algo de la clasificacións, o taxonomía, de las especies y los nombres científicos de sus componentes, aunque poco los retengo en mi memoria. He constatado sí, a veces, diferencias o falta de coherencia en ciertos nombres científicos, en distintas fuentes. Como indiqué en otras Crónicas, la palabra inglesa bird es general y denota aves y pájaros, vocablos que no son sinónimos en español. Por ejemplo, el gorrión, el cóndor y el avestruz son birds, aves, pero, usualmente, se llamaría pájaro solo al primero. Además, según la RAE, Academia de la Lengua Española, ave es el animal y Ave es la clase de dichos animales. El vocablo, femenino, proviene del latín avis. Pájaro, del antiguo pássaro, es un ave pequeña, usualmente paseriforme. Paseriforme denota patas con tres dedos hacia adelante y uno hacia atrás, para asirse a ramas, aunque no todos los pájaros son árboreos. Los vocablos ave y pájaro tienen diversas otras acepciones en hablas comunes de diversos países. Las bandurrias son varias especies de aves sudamericanas, comúnmente comparadas con la famosa ave zancuda Ibis Sagrada [Threskiornis aethiopicus], principalmente por su pico arqueado hacia abajo. Como se sabe, también hay un instrumento musical llamado bandurria. La bandurria chilena que interesa aquí es la [Theristicus melanopis melanopis], que vive desde Antofagasta hasta Tierra del Fuego. Solo he visto bandurrias desde la ciudad de Lanco hacia el sur. La segunda melanopis, cara negra, en su nombre es quizás para distinguirla de otra subespecie que vive más al norte de Antofagasta. La bandurria melanopis es un ave que mide hasta unos 75 centímetros. Tiene cabeza y cuello amarillentos, con corona y nuca oscuras, pecho blanquecino y con lados negros en pecho y abdomen. Anida en cerros, acantilados y árboles y se alimenta de lombrices, renacuajos e insectos en orillas de lagunas y campos de cultivo. Es un ave gregaria, o de familia en grupos o bandadas. Su canto es muy reconocible y se parece al de una trompeta o corneta, como metálico o aflautado. Algunos lo comparan con el sonido de una bocina, o claxon, de una cierta marca de camión. En diversas partes del Sur de Chile asocian el canto de las bandurrias, como el de queltehues, con llegada o término de lluvias o tempestades. Algunos nombres de esas bandurrias en otros idiomas son, por ejemplo: Raki, en mapudungun o mapuche; Ibis delle Ande, en italiano; Black-necked Ibis, en inglés; Schwartzzügelibis, en alemán. Obviamente, en Internet hay muchas fotografias, descripciones y cantos de esas y otras aves. Mis avistamientos de bandurrias melanopis han sido, a través de los años, en la Ruta 5 Sur, en, por ejemplo, las ciudades de Lanco y Victoria, y muchas más en la Ruta V50, de Puerto Varas a Río Frío. Mi visión principal y recuerdo más vívido es de cuando, en una tarde plácida, una bandada de esas aves emprendió vuelo desde un potrero de Playa Hermosa, emitiendo su aflautado cántico por la orilla del Lago Llanquihue. 3. Algunas otras curiosidades de los números transfinitos de G. Cantor En esta Sección continúo con comentarios y demostraciones de algunas rarezas o curiosidades de los números infinitos o transfinitos, iniciados por Georg Cantor. He tratado aspectos de ellos en mis Crónicas JLHS Nºs 4, 6 y 9 de 2011 y Nºs 4 y 5 de 2012. Muchos resultados sobre números transfinitos contradicen ciertas creencias aparentamente obvias o razonables. A veces se confunden puntos matemáticos con puntos físicos. Por ejemplo, sea nuestro Universo visualizado como una esfera con puntos físicos simbolizados como átomos de hidrógeno. Aunque el radio de la esfera y la cantidad de átomos son inmensos distan mucho de ser infinitos. En verdad, distan infinitamente de aun el infinito menor, Aleph Cero. Se recuerda que hay infinitos tipos de infinitos. Si con mejores telescopios se amplía el radio del Universo visible las nuevas distancias y cantidades de átomos serán mayores pero siempre finitas. En vez de átomos, de hidrógeno u otros, los puntos físicos pueden ser simbolizados por protones, neutrones, cuarks, …, supercuerdas, o lo que sea, pero siempre las cantidades serán finitas. En cambio, en la Teoría de G. Cantor los puntos son matemáticos y hay infinitos de diversos poderes, cardinalidades y números infinitos de elementos. Los números naturales, {1, 2, 3, … }, tienen cardinalidad denotada como Aleph 0, N0. Los números reales tienen cardinalidad mayor, c , o Aleph 1, N1. En general, para los sucesivos infinitos rige Nk+1 = 2Nk, k = 0, 1, 2, … Aquí necesitamos solamente N1 y N0, y puntos matemáticos. En la Crónica Nº 4 de 2012 recordé que la recta - ∞ < x < + ∞ tiene la cardinalidad N1 de los números reales. Aquí, ∞ denota el inalcanzable infinito. Recordé también, y di una demostración a mi manera, que el intervalo cerrado [a ; b], 0 ≤ a ≤ x ≤ b < ∞ , es equivalente, en puntos matemáticos, a la línea infinita, de Aleph 1. En particular, en el intervalo unitario cerrado I = [ 0 ; 1] hay tantos (infinitos N1) puntos como en cualquier otro intervalo cerrado [a ; b] o en la línea recta, o curva, infinita. A continuación anoto algunos teoremas sobre conjuntos e intervalos transfinitos. A. Los intervalos [a ; b] y (a ; b) tienen la misma cantidad de puntos matemáticos, N1 Como [a ; b ], cerrado, incluye los extremos a y b tiene esos dos puntos más que (a; b), abierto, tendría más puntos. Sin embargo, aplicando el Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder, descrito en Crónica Nº 6 de 2011, se puede demostrar la equivalencia, Aleph 1, N1, entre dichos intervalos cerrados y abiertos, y también con los semiabiertos (a ; b ] y [ a ; b ). B. Todos los cuadrados tienen el mismo número, N1, de puntos que sus lados o que I = [ 0 ; 1] Basta ver el caso de un cuadrado unitario, de vértices {0;0}. {1;0}, {1;1} y {0;1} y ejes rectangulares OX y OY, donde O = {0;0}. Sea, por ejemplo, un punto P = { 0.abcd; 0.efgh}, dentro del cuadrado unitario, suponiendo cuatro posiciones decimales, y donde las letras denotan dígitos. Los decimales se denotan por un punto, en vez de coma. Un ejemplo podría ser P = { 0.3945; 0.7026}. Este punto P podría ser representado en el lado OX, [0:1], del cuadrado, por un punto Q con abscisa {0.aebfcgdh}, y, por supuesto, sin ordenada. En el ejemplo sería Q = { 0.37904256 ; 0 }. Si se da un punto Q se puede recuperar, conversamente, el punto P del cuadrado. Así, la operación citada es una biyección, o correspondencia 1:1 onto. C. Todos los cubos n-dimensionales tienen la misma cardinalidad N1 de los reales. Demostración similar y ampliada como la del Teorema B. Nótese, además, que todas las caras, aristas y diagonales tienen la cardinalidad N1. D. Todas las esferas n-dimensionales tienen cardinalidad N1. Basta considerar que los cubos n-dimensionales pueden ser deformados topológicamente a elipsoides, esferas, u otros cuerpos similares. No se pueden deformar a otros, topológicamente más complicados, que no menciono aquí. Para finalizar, acoto que dichos cuerpos pueden ser abiertos o cerrados. Por ejemplo, un círculo puede incluir o no la circunferencia. También los diámetros o radios tienen la misma cardinalidad N1. El Universo, el Sol, la Tierra, su hija Luna, balones de fútbol o rugby y canicas tienen la misma cantidad de puntos matemáticos, N1 de los infinitos reales. E. Ejercicio: Sea el conjunto de los números que se pueden escribir con decimales 999999….o 00000… Por ejemplo, 0,6 = 6/10 = 0,6000000… = 0,5999999… Demostrar que dicho conjunto tiene cardinalidad N0, infinita pero contable.