Crónica Nº4 de 2012

Crónica JLHS Nº 4 de 2012 Kronyka 2012.08.30 1. Mi traducción parafrástica rimada de una famosa canción estadounidense del siglo 20 2. Megalópolis mundiales con poblaciones superiores a la de Chile del Censo 2012 3. Belleza y rareza intrínsecas de los conjuntos y números transfinitos o infinitos 1. Mi traducción parafrástica rimada de una famosa canción estadounidense del siglo 20 Folks who live on the hill De Oscar Hammerstein II y Jerome Kern, 1937 Someday we´ll build a home on a hilltop high, You and I, Shiny and new a cottage that two can fill. And we´ll be pleased to be called, “The folks who live on the hill”. Our veranda will command a view of meadows green, The sort of view that seems to want to be seen. And when the kids grow up and leave us, We´ll sit and look at the same old view, Just we two. Gentes que viven en la colina En la cima de una colina construiremos nuestra cabaña, tú y yo, quizás mañana, una flamante casa de campo que ambos podamos llenar. Y nos gustará sentirnos llamar “Las gentes que viven en la colina”. Nuestra terraza permitirá amplias vistas verdes y finas. La clase de panorama que pide ser admirado. Y cuando nuestros hijos ya crecidos nos hayan abandonado, nos sentaremos y observaremos las viejas landas, solos los dos, desde nuestra veranda. -Esta canción ha sido interpretada por muchos y muchas, como, por ejemplo, Peggy Lee, Mel Tormé, Nina Simone, Kiri Te Kanawa, Nancy Wilson, Diana Krall, entre otros y otras. Una gran interpretación es, fue, la de Ted Heath y su orquesta inglesa. -Se recuerda que una traducción parafrástica es una interpretación que mantiene el sentido, y que no es una simple versión literal, palabra por palabra, o metafrasis. Si es una canción, o poesía, rimada, la traducción parafrástica también debiera ser rimada. 2. Megalópolis mundiales con poblaciones superiores a la de Chile del Censo 2012 Don JAV, amable Lector de mis Crónicas, me hizo llegar en 2011 un interesante documento gráfico sobre las principales Megaciudades, Megapolis, Megalópolis o Conurbaciones, grandes concentraciones de habitantes en ciertas zonas del planeta. Son conglomerados urbanos constituidos, generalmente, por una ciudad principal y otras menores en su entorno. Sometí dichas cifras a exámenes de distribución estadística con leyes usuales en demografía, como zipfianas y otras, esperando incluirlos en alguna Crónica venidera. Pero ahora fueron dados a conocer ciertos resultados, preliminares supongo, del Censo Nacional de Chile 2012 y dedico esta Sección a contestar mi pregunta: ¿Cuáles Megalópolis tienen más población que Chile? Espero que esto le interese a Lectores o Lectoras que tengan que deambular, en horas de gran afluencia, en el centro de alguna ciudad del país. Uno mismo quisiera no contribuir a esas aglomeraciones, y tratar de caminar o hacer sus trámites más temprano, con menos congéneres en las calles. Los humanos nos estorbamos mutuamente, en general, en esas multitudes. El Censo reciente indica que la población residente de Chile es de 16.572.475, que aproximaré por 17 millones. Para las comparaciones que siguen, uno podría imaginar que deambula por Santiago, Región Metropolitana, entre 6.683.852 personas, lo que no requiere imaginación, pues es una realidad ordinaria. Pero más difícil es imaginar que los 17 millones de chilenos –más damas que varones- se reunieran por un día en la capital: mejor no pensar en esas multitudes. Sin embargo, y por ejemplo, un mexicano de Ciudad de México encontraría que 17 millones de personas sería como un alivio, ya que esa megalópolis tiene 20 millones de habitantes. En 1939 esa era la población de todo México, nación que tiene ahora 113 millones de habitantes Pero Tokio tiene 37 millones de habitantes y algún japonés de esa ciudad se sentiría aliviado al vivir en Ciudad de México, con apenas 20 millones de vecinos. En lo que sigue, las cifras son aproximadas a enteros superiores y son de 2011. Una megalópolis es una conurbación que incluye la ciudad principal y otras adyacentes, dentro de una cierta zona apropiada, por razones geográficas, demográficas o económicas. Por ejemplo, la ciudad de Nueva York tiene una población de 8 a 9 millones, pero la Gran Nueva York, según ciertas fuentes de referencia, incluye a Philadelphia, Washington DC, y otras ciudades de un entorno, de 20 millones de habitantes, que gravitan en torno a ella. Las megalópolis principales, por ciudad/país y en millones de habitantes son: Tokio/Japón, 37; Delhi/India, 23; Seúl/Sudcorea, 27; Sâo Paulo/Brasil, 21; Mumbai (Bombay)/India, 20; Ciudad de México/México, 20; Nueva York/USA, 20; Osaka-Kobe/Japón, 19; Jakarta/Indonesia, 19; Calcuta/India, 16; Dakha/Bangladesh, 15; Karachi/Paquistán, 14; Buenos Aires/Argentina, 13; Los Ángeles/Estados Unidos, 13. Así, a lo menos diez de esas megalópolis tienen mayor población que Chile entero. Las cifras dadas son aproximadas y varían algo según las fuentes que se consulten. También difieren las áreas o ciudades menores que se incluyan en cada megápolis. Los Censos, operaciones para contar los números de habitantes, tienen una larga historia. Fueron iniciados por los romanos y los chinos, con finalidades militares, como para saber los individuos hábiles para ser enrolados en ejércitos, o fiscales, como para gravar impuestos justos. En los comienzos de la Era Cristiana se sabe, por fuentes bíblicas, que para el censo romano en Judea, por ejemplo, se exigió que los hebreos se presentaran en sus aldeas o ciudades natales. En la actualidad eso sería casi imposible y, por ende, los métodos censales, que no han cambiado mucho en el procedimiento de consultas o entrevistas en los hogares, tienen porcentajes de error. Cabría aquí recordar que, según ciertas fuentes, el primer computador digital moderno, creado en la Universidad de Pennsylvania, Philadelphia, fue desarrollado para procesar datos censales, primeramente, aunque tuvo otros usos. 3. Belleza y rarezas intrínsecas de los conjuntos y números transfinitos o infinitos -- La Teoría de Conjuntos, que fue fundada por Georg Cantor [1845-1918] y desarrollada por él como un admirable sistema, es una de las mayores creaciones de la mente humana. En ninguna otra ciencia se encuentra tal atrevida formación de conceptos, y, quizás, solamente la Teoría de Números contiene métodos de demostración de belleza comparable. No maravilla, entonces, el que quienquiera que estudie la Teoría de Conjuntos se vea indescriptiblemente fascinado por ella-- E. Kamke, Mengenlehre [Theory of Sets]. Dover, New York, 1950. Los grandes libros clásicos nunca pierden su validez y esta obra de E. Kamke es un ejemplo. Sus teoremas y demostraciones son de una gran belleza. Como indiqué en una Crónica de 2011, algunos autores consideran que la Teoría de Conjuntos es debida a G. Cantor pero que también fue ideada independientemente por J. Dedekind, otro gran matemático, y por G. Frege, matemático y filósofo. Pero los números transfinitos se deben a G. Cantor únicamente. Menciono aquí que no está claro si las matemáticas son descubiertas o inventadas. Pero lo más patente o perceptible es que tengan ambos orígenes, probablemente según el caso. Aquí, por matemáticas se entiende partes o disciplinas de la Matemática, como la Teoría de Conjuntos, en este caso. La Teoría de Conjuntos es una disciplina complicada y profunda, con temas que aún no han sido resueltos bien, como algunas paradojas. No hay que reducirla a o entenderla como las nociones básicas de conjuntos que se enseñan en los colegios o en fascículos de Pruebas de Selección Universitarias. Mario Livio, astrofísico teórico del Space Telescope Science Institute, de Baltimore, Maryland, Estados Unidos, ha escrito que hay dos escuelas de pensamiento respecto al origen de la Matemática: el descubrimiento, o Formalismo, y la invención, o Platonismo. Formalistas serían, por ejemplo, Albert Einstein, David Hilbert, Georg Cantor y Nicolas Bourbaki -nombre de un grupo cambiante de 15 matemáticos franceses. Platonistas serían Godfrey Hardy, Roger Penrose y Kurt Gödel. Mario Livio publicó su libro Is God a Mathematician? en 2010. En la Crónica JLHS Nº 1 de 2011 incluí algunos comentarios sobre números y conjuntos transfinitos o infinitos. Aquí prosigo algo con dicho tema, tratando de no copiar textos, en lo posible. Se recuerda que la cantidad de elementos de un conjunto es llamado cardinalidad. Pero en el caso de conjuntos con infinitos miembros, o elementos, la cardinalidad se llama power, o poder. En la Crónica citada le llamé potencia, pero ese vocablo se usa también con otros significados. El primer infinito es el de los números naturales, o cardinales, N = { 1, 2, 3, …}, cuyo poder es denotado como aleph cero, N0 . El siguiente número infinito es el de los reales, cuyo poder es denotado con c, o del continuum, N1 aquí. Rige N1 = 2N, donde N denota N0. En general, los números transfinitos mayores van creciendo en poder por dicha fórmula, respecto al precedente. Es mejor usar logaritmos binarios, por mejor escritura: log2 Nk+1 = Nk, para k = 0, 1, 2, 3, … A continuación, menciono solo algunas pocas rarezas de los números infinitos. En el caso finito, la unión de conjuntos parece lógica. Por ejemplo, la unión de S1 = {0, 1, 2} y de S2 = { 3, 4, 5} daría S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Pero, en un caso transfinito, contable o incontable, la unión de dos conjuntos infinitos de poderes iguales da el mismo conjunto de ese poder. Si los dos, o más, conjuntos infinitos son de distinto poder la unión da el conjunto miembro mayor de ellos, o sea el de más poder. Así, verbigracia, la unión de los enteros, de poder N0, y los reales, de poder N1, da estos mismos reales. Como ejemplo 2, sean N+ = {1, 2, 3,…}, de poder N0, como se indicó, y N- = { -1, -2-, -3, …}, también de poder N0. Si se desea, a cada uno se le puede agregar 0, como 0+ y 0-, respectivamente. La unión de N+ y N- también tiene poder N0, lo que puede ser extraño. La demostración puede ser vista acomodando la unión de N+ y N- así, designando con tildes los números originales: Unión de N+ y N- = { -1´, 1´, -2´, 2´, …} = {1, 2, 3, …}, donde -1´se denota por 1, 1´ por 2, y así sucesivamente. Un ejemplo 3, aquí, puede ser la siguiente ecuación: x = x + 3. En álgebra usual, ella no tendría sentido, ya que restando x en ambos lados se vería como 0 = 3. Pero tendría solución x  infinito, + o - , en conjuntos transfinitos de cualquier poder. Pero eso hay demostrarlo, en cada caso. Para demostrarlo en el conjunto infinito de los naturales, de poder N0, el x del lado izquierdo puede ser contado como { 1, 2, 3, 4, …}. En el lado derecho, x + 3 puede ser contado como {1´, 2´, 3´, 3´´, 4´,…}, que, escrito de nuevo es {1, 2, 3, 4, ..}, con 1´= 1, 2´= 2, 3´= 3, 3¨ = 4, y así sucesivamente. Se denotó el 3 original como 3¨, por claridad. Para demostrar la solución del ejemplo 3 en el conjunto de los reales, de poder N1, no contable, se debe usar otro método de homologación o comparación. Por ejemplo, se podría usar el siguiente Teorema: Cualquier intervalo abierto (a, b; a < b) de la línea real R (- infinito, + infinito) tiene precisamente los mismos puntos (matemáticos) que R. En la ecuación x = x + 3, del ejemplo 3, x y x + 3, como intervalos abiertos de R son equivalentes entre sí y a R. Mi demostración del Teorema, para no copiar las de libros, sería como sigue. El intervalo (a; b) y el total R (- infinito, + infinito) pueden transformarse –imaginariamente- a sendas circunferencias abiertas y concentricas, con centro O y radios iguales a sus longitudes divididas por 2.pi. Entonces, cualquiera línea radial, dibujada desde O, intersecta las circunferencias en puntos P y Q, respectivos, que forman pares únicos. O sea, un punto en el intervalo (a; b) equivale unívocamente a un solo punto de R. Dado que las líneas y circunferencias se pueden transformar topológicamente en otras formas equivalentes, ese Teorema es muy útil, aunque sea extraño. Por ejemplo, parece muy extraño el que una cuadra de 100 metros en una calle, la distancia Valparaíso-Santiago de 110 kilómetros o la del Sol a la estrella Alfa Centauro, de unos 4,6 años luz, y otras, tengan la misma cantidad de puntos o números matemáticos, N1, aleph 1. Aunque fueran curvas y no rectas. Un teorema 2, más útil, es el siguiente [G. F. Simmons]: Cualquier subconjunto S de la línea real R que contenga un intervalo abierto (0;1) es numéricamente equivalente a R, no importando la estructura de S. Una demostración sería así: Se demostró más arriba que (a;b) equivale a R. Por ende (0;1), en particular, equivale a R. Por otra parte, S es numéricamente equivalente a sí mismo, como subconjunto de R y R es equivalente a (0;1) como subconjunto de S. Por tanto, por el Teorema de Cantor-Dedekind-Berstein, queda demostrado el Teorema 2. El Teorema de Cantor-Dedekind-Bernstein fue recordado en las Crónicas 6 y 9 de 2011. Termino con los siguientes comentarios. El conjunto R, de los números reales, parece simple pero algunos de sus subconjuntos pueden ser muy complicados, como uno de los conjuntos del mismo G. Cantor. Es costumbre representar R como una recta, pero puede ser, topológicamente, una curva. Por otra parte, los dos primeros transfinitos, los enteros (contables) y reales (no contables), de aleph 0 y aleph 1, respectivamente, son muy simples para la comprensión humana directa, aunque no se conozcan esos números alephs. Los transfinitos mayores, alephs 2 o superiores, no son tan obvios de imaginar.