Crónica Nº4 de 2010

Crónica 4 de 2010
Kronyka 2010.06.20

1. Paloma: Ave leniel cuyos machos y hembras secretan leche de buche para sus crías
2. Paradigmas y metáforas de la Computación en la Nube - Cloud Computing
3. Aproximación de funciones matemáticas mediante esplines

1. Paloma: Ave leniel cuyos machos y hembras secretan leche de buche para sus crías

Esta Sección de la Crónica fue motivada por la estadía transitoria de un par de albas palomas cola de abanico, Columba livia domestica, junto a sus comunes congéneres grises de los tejados que alcanzo a ver. Uniendo palabras, como en el idioma alemán, acuñé para ese par el vocablo albiabanorrabicadas. La Real Academia Española tampoco registra los vocablos leniel o columba, que empleo aquí. Pero columba es usado en nombres científicos de algunas palomas. Se usa fantail para esas palomas cola de abanico, o abano, pero también hay un pez fantail y un pájaro pequeño fantail. Algunos especialistas consideran que en el mundo existen unas 40 subfamilias y 400 especies de palomas. En 1960, cuando empecé a leer sobre estas aves, había 289 especies, según la Enciclopaedia Collier´s.

Las palomas comunes, Columba livia, tienen unas 12 plumas en la cola pero las columbas fantails poseen cerca de 40, y son consideradas como aves de fantasía. Ambos tipos son de la familia Columbidae, del orden Columbiformes, y descienden del Pichón o Paloma de las rocas, que era de los Columbidae pero que ahora se llama Patagioenas livia y es de los Patagioenae, como también lo es la paloma araucana, Patagioenas araucana. Las palomas son consideradas como semi-paserinos. Una característica de los paserinos, como los gorriones que describí en una Crónica de años ha, es que tienen patas con tres dedos frontales y uno trasero, para agarrarse a las ramas de árboles en que se posen. Las palomas también los tienen pero no moran en árboles sino en planos, como tejados. Lenieles son aves de cuerpo y cuello robustos y pico delgado con ceras, o excrecencias, carnosas, como las palomas.

Mi pregunta detectivesca no ha tenido respuesta: ¿Qué vinieron a hacer ese par de aristocráticas columbas cola de abanico al vecindario de proletarias palomas grises?
Siempre se mantuvieron apartadas de éstas y tras unas semanas se fueron. Pero, aparentemente, les enseñaron modales refinados a sus congéneres apizarradas, que ahora molestan menos en el vecindario. Parece que también les enseñaron a preferir techos de tejas en vez de los metálicos, por razones de temperatura y mantenibilidad del calor.

En el ámbito de las palomas hay cierta confusión, aun en los nombres científicos. En castellano se considera que ave y pájaro significan lo mismo: animal vertebrado, ovíparo, de respiración pulmonar, de sangre de temperatura constante, pico córneo, cuerpo cubierto de plumas, con dos patas y dos alas. Pero en lenguaje usual ave es el nombre general y pájaro denota más bien un ave pequeña o que puede volar. En inglés sólo existe el término bird para ave o pájaro. En ese idioma las palomas se denominan pigeons o doves, como sinónimos, pero usualmentem doves son los tipos más pequeños de esas aves. Las crías son llamadas hatchlings, cuando salen del cascarón, y luego squabs, o pichoncillos en castellano. Comúnmente se llama pichones a las crías, pero pichón se usa también para ciertas variedades de palomas, como el Pichón pasajero, extinguido por el hombre en Norteamérica, a comienzos del siglo 20.

Se dice que la paloma común, Columba livia, o paloma bravía, es el pájaro citadino o urbano más común y se la ve deambulando en calles, plazas y parques o posadas en tejados de casas y edificios. Esas son palomas ferales, o que derivan de la paloma doméstica y han vuelto a ser libres. Pero la paloma doméstica, a su vez, provino de las silvestres palomas de las rocas, cuyo origen se remonta a millones de años. Las palomas silvestres se llaman zuras o zuros, Columba oenas. En mi libro MetriCrónicas, de 2006, excogité una fábula rimada, de trasfondo esoterista, sobre El Zuro Veraz y la Gaviota Suspicaz. Las mayores variedades de palomas están en Australasia y en menor grado en América tropical. Habitan en todo el mundo, salvo, por ahora, en los polos y partes del Sahara. Las más grandes son las gouras, o coronadas, como la Goura cristata, y las más pequeñas son las palomas de suelo, Columbina passerina. La tórtola, Zenaida articulata, es del mismo orden y familia que las palomas comunes.

Siempre me han intrigado las palomas y las actitudes polifacéticas de los humanos hacia ellas. El hombre las ha usado como alimento desde, a lo menos, los antiguos Egipto y Mesopotamia, y aún se continúa eso con ciertas variedades. Los ejércitos romanos y otros, hasta la Guerra Mundial I, 1914-18, han usado palomas mensajeras. También hay palomas para carreras. En el diluvio de Noé - hay otras versiones de diluvios- una paloma exploradora volvió con una hoja de olivo. Las palomas ferales son apreciadas por personas que las alimentan mal, dietéticamente, y las protegen. Pero también hay quienes las aborrecen porque ensucian los techos, son ruidosas con su arrullos, portan parásitos y pueden causar unas decenas de enfermedades en humanos. Son hermosas las palomas blancas, no fantails, que se lanzan al aire en algunas ceremonias. Esas mismas aves blancas simbolizan la Paz en muchas naciones y tienen, las fantails, significados religiosos o místicos en ciertos credos. Mi esposa y yo no recordamos haber visto palomas blancas ni en el Parque Central de Nueva York ni en las Plazas de Venecia, Trafalgar de Londres o del Vaticano. Al menos vimos las dos blancas fantails en nuestros tejados.

A muchas personas les molestan los arrullos, anidamientos y suciedad de las palomas y tratan de ahuyentarlas con mallas o masteletes verticales, por ejemplo. Los arrullos son distintos si son del macho - cock o gallo - o de la hembra - hen o gallina -. El padre empolla los huevos en el día y la madre en la noche y ambos secretan una leche de buche - crop milk- para sus crías, a diferencia de otras aves, con la excepción de los flamencos. No estoy en edad para subir a un techo o hasta el Lago Chungará para verificar eso. Pero sí es cierto que mi esposa ahuyenta las palomas enviándoles el reflejo del sol en un espejo o vidrio. Por alguna razón las palomas se sobresaltan y huyen…pero vuelven.

2. Paradigmas y metáforas de la Computación en la Nube - Cloud Computing

Es costumbre en las universidades, centros de investigación y empresas de avanzada acuñar palabras que pasan a ser de uso público, por facilidad o por aparentar modernismo. A veces son vocablos nuevos, como láser, software o firmware. Otras, como hardware, son viejísimas pero se usan en un sentido específico moderno. Después de un tiempo todos creemos que entendemos lo que significan esos vocablos, lo que no es cierto en general, ya que las tecnologías subyacentes, en las que se basan, han ido cambiando. Por ejemplo, casi todos usamos computadores y celulares pero pocos saben cómo funcionan, o ignoran los cambios de tecnologías por los que han pasado. Declaro mi ignorancia en muchas cosas -casi todas- pero a veces trato de actualizarme algo en ciertos temas y tecnologías de punta -siempre las llaman así para impresionar y hacer negocios, lo que no es objetable en todo caso: salvo que nos, los clientes interesados, siempre tenemos que pagar más en cada avance de esos artilugios.

Las llamadas Tecnologías de la Información, IT en sus siglas inglesas, vienen, según ciertos autores técnicos, prácticamente desde los orígenes de la humanidad, y en varias fases, pero ahora se entiende por tales las que se basan en computadores digitales modernos, en redes de ellos y en Internet2. Lamentablemente, en los diccionarios no hay muchas palabras, o no hay ningunas, que se puedan usar como alternativas. Aunque mucho se habla y escribe sobre estas IT, que son polifacéticas, no es claro, parece, su significado. En universidades de avanzada IT puede entenderse como el estudio, investigación, creación, desarrollo, realización o implementación, soporte o manejo de sistemas de información. Pero en empresas comerciales IT puede entenderse como cualquiera tecnología que ayude a la producción, almacenamiento, manejo o manipulación, comunicación y distribución de información, sujetas, naturalmente, a pagos, de alguna forma, por el usuario. Información tiene muchos significados, que no consigno en esta Crónica.

En IT es costumbre emplear términos como paradigmas, o modelos o tipos de sistemas de trasiego de información, generalmente de gran escala, y de metáforas, que, usualmente, denotan el Internet o la www. En los años 1990 se puso de moda el paradigma y metáfora Grid Computing, o Computación en Grilla, que describí someramente en una Crónica. Esta modalidad fue creada, altruísticamente, para lograr gran capacidad de cómputo, empleando interconexión de unidades computacionales, mundiales, desde supercomputadores hasta computadores personales u otros dispositivos, voluntarios. El objetivo era poder resolver problemas, científicos o de la humanidad, que requieren capacidades y velocidades de cómputo superiores a los de supercomputadores. Se usan conceptos como rastrojo de tiempo de computadores y hurto de ciclo de ellos en sus instantes o intervalos ociosos. Para el manejo eficiente de esa gran cantidad de computadores de diferentes partes del mundo, con operación distribuida y paralela, fueron desarrollados avanzados métodos de manejo gerencial, almacenamiento, supervisión, seguridad y herramientas para crear nuevos servicios. El concepto de grilla fue copiado, en cierto modo, de los sistemas eléctricos de potencia, a los que se conectan tanto centrales como usuarios, y se transmite y distribuye la energía en grandes zonas o centros de consumo.

En cierto modo siguiendo comercialmente algunos de esos conceptos, nació en 2007 el paradigma y metáfora de Cloud Computing, o Computación en la Nube, en pleno desarrollo actual. Ciertas empresas ofrecen servicios computacionales a través de Internet, en forma algo similar a las susodichas empresas de electricidad. El usuario no necesita conocer la infraestructura de la empresa que le provee los servicios: eso es como una nube para él, una metáfora de Internet2. Computación en la Nube y Computación en Grilla no son similares, pero no es del caso profundizar aquí en sus diferencias. Obviamente, las empresas comerciales que ofrecen Computación en la Nube detallan las varias ventajas que ella envuelve para los presuntos clientes: acceso ubicuo a información y servicio; pagos según necesidades o usos; no necesidad de instalar computadores propios; el cliente puede ampliar su empresa sin mucha inversión adicional: escalabilidad. Pero otros anotan desventajas: cargos fijos; dependencia de datos en línea; incierta seguridad del suministro de información; y acceso por terceros a la información y datos privados del cliente. También aparecen nuevas siglas y acrónimos en eso, que quienquiera pueda usar para impresionar o para evitarse largas explicaciones. Como empleo mucho el Buscador Google, me atrevo a mencionar aquí el sistema Google Apps, diseñado por y para esa empresa. Este Apps tiene varias capas, layers, con abreviaturas en inglés: SaaS, Software como servicio; PaaS, Plataforma como servicio; IaaS, Infraestructura como servicio. A la larga esas abreviaturas, siglas o acrónimos pasan a ser de uso común. A mí me gustaría contratar un SaaS, pero soy insignificante como cliente, y seguramente tendría que pagar mucho. A la larga se popularizará la Computación en la Nube hasta para clientes sencillos, por ejemplo vía celulares sofisticados, que sean confiables, u otros artilugios enchufables inalámbricamente a dichas empresas de la Nube, y ojalá con tarifas módicas.





3. Aproximación de funciones matemáticas mediante esplines

En Crónicas de años años anteriores he presentado aspectos de aproximación de funciones matemáticas de una variable por polinomios de grados cualesquiera. Ese material era de cimiento para ir presentando paulatinamente, en otras Crónicas, aproximaciones de mapas matemáticos, continuos y acotados, o compactos, escalares o vectoriales de muchas variables, por diversos métodos. Espero ahora reanudar ese propósito, en tratamientos simplificados, en un nivel introductorio adecuado a estas Crónicas.

Aquí se consideran: una función f(x), continua real; x, una variable real; y [a, b] un intervalo real cerrado y acotado: compacto. El teorema básico de aproximación polinomial, excogitado por K. Weierstrass, en el siglo 19, fue expuesto así: Sea f(x) una función continua compleja definida en el intervalo real [a,b]. Para todo e > 0 existe una función polinomial compleja p(x) tal que para todo x en [a,b] rige // f(x) - p(x)// < e.

Nos limitamos aquí al caso de funciones y polinomios reales. Las funciones se llaman a veces aplicaciones o mapas. La norma //.// se toma como el supremum, o el mayor valor absoluto o módulo. El número real real positivo pequeño e denota el grado de aproximación absoluta que se desea. El Teorema de Weierstrass ha sido extendido por otros autores a espacios matemáticos más abstractos. La versión llamada Teorema de Stone-Weierstrass es muy empleada y se espera, en otras Crónicas, aplicarla en ciertos tipos de sistemas relativamente modernos.

Un inconveniente de la aproximación Weierstrass global es que el polinomio p(x) requerido puede ser de un grado n bastante alto si se desea una aproximación e muy estrecha. I. J. Schoenberg introdujo en 1946 el empleo de esplines para aproximar la función, o curva, por parches, o arcos curváceos locales. El intervalo [a, b; b > a], b - a, se divide en n subintervalos uniformes de largo (b-a)/n, y los parches, o arcos de f(x), correspondientes se aproximan por polinomios de grado bajo, usualmente cúbicos. En los puntos de unión de los parches, o nudos, las aproximaciones, de ambos lados, deben coincidir, en valor, tanto para p(x) como para las derivadas sucesivas de p(x) que se requieran. Cada tramo tiene sólo un grado de libertad de ajuste de coeficientes de esos esplines de p(x). También se pueden usar intervalos o tramos no uniformes.

Un esplín de orden o grado 2, por ejemplo, es de la forma: s(x) = Ax2 + Bx + C, donde A, B y C son coeficientes a determinar en base a los valores de f(x) en los puntos de control o nudos pertinentes. Sea, verbigracia, f(x) un parche o arco de curva en el intervalo cerrado [a, b], dividido en tres puntos (- K = a; 0; + K = b, con K >0), donde: f(-K), f(0) y f(K) tengan valores L, M y N, respectivamente. Entonces: f(-K) = s(-K) = AK2 - BK + C = L; f(0) = s(0) = C = M; f(+K ) = s(+K) = AK2 +BK +C = N. Así se obtienen: A = ( L + N - 2M)/2K2 ; B = ( N - L)/2K; C = M. El intervalo [- K, +K] puede ser trasladado a otros [a, b], según sea de interés en el problema.

En los puntos de control, o de encuentro de los parches, x = q, deben coincidir los valores de los polinomios y derivadas de ellos. Si se aproximan los parches por esplines de orden o grado n, hay que determinar n+1 coeficientes. En los puntos de control hay que considerar coincidencias hasta la derivada n-1 ésima; la función, y los polinomios se consideran como las derivadas de orden 0. Como ejemplo, en el caso de esplines de segundo orden, sean los polinomios r(x) = Ax2 + Bx +C, en el arco izquierdo, y g(x) = Dx2 + Ex + F, en el arco derecho. En el punto común x = H, la coincidencia de r(H) y g(H) exige que (A -D) H2 + (B -E) H + (C - F) = 0. Además, allí deben coincidir las primeras derivadas, y se debe cumplir 2 ( A - D) H + (B - E) = 0.


Schoenberg introdujo B-esplines, que son funciones simétricas tipo campana obtenidas de
(n -1) pliegues convolutivos de un pulso rectangular Bº(x) de magnitud 1 para x entre - 0,5 y
+ 0,5, de valor 0,5 en dichos puntos y 0 fuera de ese intervalo. Los esplines han sido tratados por diversos autores, a veces en formas algo alternativas. Son útiles y empleados en muchas disciplinas y áreas, científicas y tecnológicas. En 1959, P. de Castelgau propuso un algoritmo para cómputos de esplines. Basado en esto, P. Bézier desarrolló en 1962 las curvas de Bézier, un tipo de esplines dinámicos, para diseño de cuerpos de automóviles, y que se usan en otras áreas o problemas. Hay diversos softwares comerciales dedicados a, o que usan, esplines. Spline es, o era, una cierta herramienta en forma de cinta metálica flexible para usos en carpintería o tornería. Con ella se modelaban o dibujaban contornos de piezas a tornear, fresar o cepillar. Las traducciones esplín y esplines, que empleo, no aparecen en el diccionario de la Real Academia Española. Éste incluye sí esplín como melancolía. Ese esplín, muy diferente, es un anglicismo proveniente de la palabra spleen, del griego splën, glándula bazo.

Crónica Nº3 de 2010

Crónica 3 de 2010
Kronyka 2010.05.15

1. Otros de los diez mil poemas del principal poeta clásico chino Li Po, 701-762
2. Megacefalia demográfica urbana
3. Divergencia de la serie armónica o natural
4. Belleza de las matemáticas según el gran matemático Paul Erdös

1. Otros de los diez mil poemas del principal poeta clásico chino Li Po, 701-762

En la Crónica 7 de 2009 incluí un poema de Li Po, quien floreció en China entre 701 y 762. Li Po, también conocido como Li Bai o Li Tai-Pe, escribió unos diez mil poemas, de los que se conservan unos mil. En aquellos tiempos los postulantes a algún cargo público chino debían escribir un poema propio, como uno de sus antecedentes.

Li Po y Du Fu, su contemporáneo, son los dos principales poetas clásicos chinos. Du Fu escribió que Li Po Al tomar la pluma, levanta tormentas y borrascas. Y compuesto el poema, conmueve hasta las lágrimas a los dioses y los fantasmas.

A continuación transcribo unos poemas de Li Po, cuyo ideal era: Contribuir a mejorar la vida del pueblo y hacer prosperar el país:

- Visita Infructuosa a un Taoísta de la Montaña Dai Tian
En medio del arroyo ladra un perro.
Tras la lluvia se abren con vigor flores de durazno.
En lo más hondo del bosque, corre uno que otro ciervo.
Y, junto al agua, ya es mediodía; aún no oigo campanadas.
Cortinas de bambúes separan las altas nieblas.
De la esmeralda cumbre pende una cascada.
Nadie sabe adónde ha ido el ermitaño.
Triste, descanso apoyado en un pino.

- ¿Por qué vivo en la montaña?
Ayer fuimos mozos
con mejillas sonrosadas,
y hoy nos envejece la cabellera blanca.
Las malezas sepultan la Sala de los Leones de Piedra.
Los ciervos vagan
por la Terraza de Gusu.
En estos palacios de emperadores y príncipes
los muros sólo encierran polvos amarillos.

2. Megacefalia demográfica urbana

La actual proposición de extender el área urbana de Santiago de Chile me hizo recordar el siguiente artículo que me publicaron en la excelente revista Theoria de la Universidad del Bío Bío:
Análisis de megacefalia demográfica urbana mediante leyes de Zipf y de potencia
Theoria, volumen 11, páginas 21-26, 2002, UBB, Concepción y Chillán.

Por megacefalia demográfica urbana, que denotaré como MDU, entiendo el fenómeno de gran, más bien desmedida o desmesurada, concentración de habitantes en la principal ciudad de algún país, en relación al resto de sus otras localidades. Considero como principal ciudad la de mayor población urbana, no necesariamente la capital de un país. Lo dicho para esas ciudades comprende muchas veces, y para peor, a las áreas metropolitanas y localidades satélites que las rodean. Por ejemplo, alguna ciudad X que tenga 8 millones de habitantes podría tener 15 millones en el Gran X, su Área Metropolitana. Si esa Gran X, de 15 millones, es de un país de 150 millones no hay mucho problema, en ese respecto, y no cabría preocuparse de la magacefalia MDU. Pero una Gran X de 15 millones representaría una muy anómala MDU si el país es de 50 millones de habitantes, o menos.

En esta Crónica no incluiré lo que desarrollé en el artículo antes mencionado. En ese entonces, concluí que Chile, de 15 millones, con Santiago Metropolitano de 5,5 millones era el país más megacefálico del mundo.

El criterio más usual para juzgar una distribución natural de habitantes en un país es la de Zipf, de potencias y las de otros autores. Aquí, por brevedad, considero sólo la llamada Serie Armónica, similar a la básica de Zipf, o viceversa, que representa bien distribuciones en muchos fenómenos o casos naturales. Las discrepancias respecto a esas leyes delatarían artificialidades o anomalías. Por ejemplo, la población de Santiago, descomunal respecto a la del país, revela varias características anómalas. Mientras más se facilita la vida en una ciudad -cualquiera que sea- más afluyen a ella emigrantes del campo o de otras zonas del país. También se facilita el crecimiento de la especie humana del homus ratus -santiaguino- que describió el sociólogo Pablo Huneeus. Ese gris hombre rata vive y corre todo el día entre una y otra de sus guaridas o antros: departamento o casa, el metro o el auto, la oficina, el metro o auto y su habitación. Mejor prosigo con las matemáticas y las estadísticas demográficas.

La serie armónica o natural es S = 1 + ½ + 1/3 + ¼ + ...+ 1/n; n, entero positivo.
Esta serie es divergente. Si M es cualquier número positivo, entonces para algún número n suficientemente grande la suma S excede M. Sin embargo, las series parciales son finitas y por eso sirve dicha serie, como de Zipf y otros, en distribuciones naturales.
En nuestro caso las ciudades de un país debieran seguir naturalmente los valores relativos de esa S: 1; 0,5; 0,333..; 0,25; 0,20; 0,167; 0, 125; … Según el número de ciudades que se considere se suman esos coeficientes y se calculan los porcentajes reales. Para los efectos de esta Crónica, por simplicidad, se adoptan dos criterios para juzgar sobre la MDU: - C1: La ciudad mayor debiera tener menos del 10 por ciento de la población del país; - C2: Las ciudades ordenadas por número de habitantes debieran tener poblaciones en proporción a los términos de la S. Las poblaciones se consideran aquí en millones y se aproximan a un decimal.

A. Algunos países que cumplen los criterios C1 y C2 de distribución demográfica

- Estados Unidos, 310 millones
Nueva York, 8,4; Los Angeles, 3,8; Chicago, 2,9; Houston, 2,3; Phoenix, 1,6; …
- Rusia, 142 millones
Moscú, 10,4; San Petersburgo, 4,7; Novosibirsk, 1,5; Nizhny Novgorod, 1,3; …
- China (RPC), 1350 millones
Shangai, 16; Beijing, 8; Tianjin, 4,5; Wuhan, 4,3; Xian, 4.3; …

- India, 1150 millones
Mumbai, 20; Calcuta, 11; Delhi, 8,5; Madrás, 5,4: …
- Alemania, 83 millones
Berlín, 3,4; Hannover, 1,8; Munich, 1,4; Colonia, 1,0; …

B. Algunos países megacefálicos o que no cumplen los criterios C1 y C2.

- Argentina, 41 millones
Buenos Aires, 13,0; Córdoba, 1,4; Rosario, 1,2; Mendoza, 0,9; …
Uno de cada tres argentinos reside en el área del Gran Buenos Aires.
- Azerbaiyán, 8,6 millones
Bakú, 2,1; Gänca, 0,3; Sumgait, 0,3; …
Uno de cada cuatro azeríes habita en Bakú.
- Bolivia, 9 millones
Santa Cruz, 1,5; La Paz, 0,9; Cochabamba, 0,6; El Alto, 0,5;…
Uno de cada cuatro bolivianos vive en La Paz-El Alto y uno de seis en Santa Cruz.
- Colombia, 45 millones
Bogotá, 7,2; Medellín, 2,3; Cali, 2,2; …
Uno de cada seis colombianos mora en Bogotá.
- Chile, 17 millones
Santiago, 5,6; Puente Alto, 0,53; Viña del Mar, 0,29; Antofagasta, 0,29; …
Uno de cada tres chileno se radica en Santiago y uno de cada dos en las
Zonas Metropolitana y Quinta, en un radio de no más de 200 kms de Santiago.
- Uruguay, 3,5 millones
Montevideo, 1,3; Salto, 0,1; Paysandú, 0,08;…
Uno de cada tres uruguayos es de Montevideo.

Una moraleja de estas megacefalias podría ser de que no convendría seguir mejorando o expandiendo las grandes metrópolis en los países tercermundistas, como Santiago en Chile, y más bien desarrollar las regiones. Un problema, en lo político, es que esas metrópolis tiene, por supuesto, las mayores concentraciones de votantes. Una posibilidad sería que el voto de un habitante de las regiones tuviera una ponderación de 3. Habría menos homus ratus capitalinos y los parlamentarios de provincias no se transformarían en nuevos santiaguinos. Esto, similarmente, ocurre en todos los países.

3. Divergencia de la serie armónica o natural

Sea Sn = 1/1 + ½+ 1/3+ …+ 1/r + 1/ (r+1) + …+ 1/n; r y n enteros positivo.

Por el criterio de la razón, o ratio test, se tiene que la razón entre los términos r- ésimo y (r+1)-ésimo es (n+1)/n = 1 + 1/n, siempre mayor que 1. Tiende a 1 si n crece a infinito.

Teorema 1. Sea M un número positivo cualquiera. Existe un n positivo tal que la serie
armónica Sn es mayor que M.

Teorema 2. El n-ésimo número armónico no puede ser entero para ningún n
mayor que 1.


4. Belleza de las matemáticas según el gran matemático Paul Erdös

¿Por qué son bellas las matemáticas? Es como preguntar el porqué la Novena Sinfonía de Beethoven es bella. Si alguien no ve por qué, nadie se lo puede decir. Sé que los números son hermosos. Si no lo son, nada lo es.

En Crónicas de años anteriores he mencionado al matemático húngaro Paul Erdös, 1913-1996. Ha sido el matemático más prolífico, con cientos de colaboradores y coautores. Leonhard Euler, suizo, 1707-1783, ha sido sí el matemático que más páginas escribió. También mencioné que el hindú Srinivasa Ramanujan, 1887-1920, ha sido el matemático más genial y prolífico, trabajando solo: con inspiración divina según él.
Estas son apreciaciones y juicios de matemáticos, no mías.